Математика биологических переключателей

      Комментарии к записи Математика биологических переключателей отключены

Математика биологических переключателей

Мы остановились на том, что лактозный оперон похож на логический элемент AND. Но откуда у него берутся цифровые особенности? Так как оба входных сигнала (концентрации цАМФ и лактозы), вообще-то, аналоговые.

Попытаемся нарисовать входные функции лактозного оперона.

(продолжение. Прошлая часть: «Автоматика из ДНК и белков: что у нее неспециализированного с электроникой?»)

Любой вход лактозного репрессора складывается из двух этапов молекулярного узнавания. Лактоза связывается с лактозным репрессором, а репрессор — с ДНК. В клетке находится пара десятков молекул репрессора, любая из которых, пока нет лактозы, может связываться с началом лактозного оперона.

В то время, когда она в том месте связана, РНК-полимераза не имеет возможности начать работу. Из-за теплового перемещения молекулы репрессора то и дело отваливаются от ДНК и присоединяются обратно. В случае если репрессора нет совсем, оперон трудится на полную мощность (на данный момент для простоты думаем, что катаболический активатор имеется в избытке).

При малых концентрациях репрессора он снижает активность оперона фактически линейно. Но дальше эффект каждой новой порции репрессора меньше и меньше, и в целом график зависимости близок к преувеличению y = 1 / (x + 1)

матан

Связывание репрессора с ДНК можно считать обратимой химической реакцией. Положение равновесия в обратимых химических реакциях описываются законом действующих весов. Что это такое?

К примеру, у нас имеется реакция, в которой из веществ А и В образуется вещество С. Реакция обратима, другими словами С может распадаться обратно на А и В в тех же самых условиях:

A + B — C

В колбе, где идет эта реакция, установится какое-то равновесие между прямым и обратным направлением реакции. В совокупности будут все три вещества А, В и С в каких-то концентрациях (в физической химии концентрацию вещества принято обозначать его знаком в квадратных скобках, [A], [B] и [C] в отечественном примере). Закон действующих весов связывает равновесные концентрации веществ между собой: произведение концентраций продуктов, деленое на произведение концентраций исходных веществ, неизменно.

[C] / ([A] * [B]) = K

Буквой К тут обозначена константа равновесия реакции. Она зависит лишь от химической природы реакции (т. е. какие конкретно вещества реагируют) и от температуры. Концентрации веществ, давление, прочие факторы и катализаторы не воздействуют на константу равновесия.

К примеру, в случае если мы добавим в колбу побольше исходного вещества А, то равновесие сдвинется в сторону вещества С, его концентрация возрастет, а концентрация вещества В (которого мы не додавали) наряду с этим упадет. Но отношение [C] к ([A] * [B]) останется постоянным.

Итак, у нас имеется обратимая реакция связывания активной формы репрессора с опероном: RepA + OpA — Op (связывание репрессора превращает активную форму оперона в неактивную). Она имеет собственную константу равновесия К{R-O} = [Op] / ([OpA] * [RepA]). Нам нужно взять из этого зависимость [ОрА] (количества активной формы оперона) от [RepA] (концентрации репрессора). Еще мы знаем, что в клетке лишь один лактозный оперон, что возможно в активной либо неактивной форме: [Op] + [OpA] = 1

Из второго уравнения высказываем [Op] через [OpA] и подставляем в первое уравнение:

К{R-O} = (1 — [OpA]) / ([OpA] * [RepA])

По окончании преобразований приобретаем:

[OpA] = 1 / (K{R-O} * [RepA] + 1)

Другими словами функция имеет форму y = 1 / (x + 1)

Молекулы репрессора плавают в клетке и связываются с ДНК лишь пачками по четыре. Дабы активная форма репрессора превратилась в неактивную, она обязана связаться с четырьмя молекулами лактозы — одной либо двух не хватает, нужно по одной молекуле лактозы на каждую протеиновую субъединицу счетверенного репресора. До тех пор пока лактозы в клетке мало, ее молекулы связываются с репрессором по одной-две и он остается активным.

Но по окончании некоей пороговой концентрации лактозы большая часть молекул репрессора связывают по четыре молекулы лактозы и переходят в неактивную форму. График активности репрессора в зависимости от количества лактозы исходя из этого имеет S-образную форму и описывается функцией вида y = 1 / (1 + x4).

Матан

Сейчас определим зависимость [RepA] от концентрации лактозы [Lac]. Она так же выводится из закона действующих весов, с одной тонкостью: в связывании с репрессором участвуют четыре однообразных молекулы лактозы.

RepA + 4 Lac — Rep

В уравнении для константы равновесия в этом случае появляются степени:

К{R-L} = [Rep] / ([RepA] * [Lac]^4)

Снова мы используем тот факт, что суммарная концентрация обоих форм репрессора постоянна:

[Rep] + [RepA] = n, где n ? 50

И приобретаем, что [RepA] = n / (К{R-L} * [Lac]^4 + 1)

Сейчас, для получения входной характеристики оперона по лактозе, нужно подставить вторую функцию в первую. Она будет с точностью до коэффициентов иметь таковой вид:

y = 1 / (1 + (1 / (1 + x4)))

Ее график также S-образно изгибается. Получается, что лактозный оперон не реагирует на малые концентрации лактозы. При достижении пороговой концентрации появляются неактивные молекулы репрессора, связавшие по четыре лактозы, и оперон достаточно быстро включается.

Второй регуляторный вход лактозного оперона также складывается из двух шагов молекулярного узнавания: цАМФ связывается с активатором, а активатор — с ДНК. Отличие от лактозного входа в том, что тут связывание молекул (активатора либо цАМФ) повышает активность того, с чем они связались (оперона либо активатора). Другими словами графики будут выходить из нуля и приближаться к горизонтальной прямой где-то выше оси Х.

Матан

Потому, что связывание цАМФ включает активатор, активная форма будет продуктом реакции, а не исходным веществом:

2 цАМФ + Akt — AktA

Константа равновесия K{Ц-А} = [AktA] / ([Akt] * [цАМФ]^2)

Снова мы пользуемся тем, что сумма концентраций [AktA] и [Akt] постоянна, поскольку в клетке имеется около 100 молекул активатора, переходящих между активной и неактивной формой. Высказывая [Akt] через [AktA], приобретаем:

K{Ц-А} = [AktA] / ((100 — [AktA]) * [цАМФ]^2)

[AktA] = K{Ц-А} * [цАМФ]^2 / (1 + K{Ц-А} * [цАМФ]^2)

Другими словами зависимость [AktA] от [цАМФ] имеет форму y = x2 / (1 + x2)

Из-за связывания двух молекул цАМФ график выглядит не как преувеличение, а как S-образная кривая. Не смотря на то, что пороговый эффект на ней заметен не сильный, чем на графике для лактозы, по причине того, что степень не четвертая, а лишь вторая.

Зависимость активности оперона от количества активатора имеет второй нюанс. В случае если связывание репрессора подавляет оперон полностью (где-то до 0,1%, что ниже погрешности химических измерений), то отсутствие активатора подавляет активность лишь до 5%. Исходя из этого график будет выходить не из нуля, а из точки (0; 0,05):

y = 0,05 + (0,95 * x / (1 + x))

Матан

Состояние оперона «активатора нет, репрессора нет» также вносит вклад в синтез мРНК и соответствующих белков, исходя из этого

Активность = [OpA] + 0,05 * [Op]

Зависимость [OpA] от [AktA] мы можем легко вывести по аналогии с прошлыми тремя. Активатор связывается по одной штуке, значит, [AktA] будет входить в формулу в первой степени. Он активирует оперон, значит, [AktA] будет и в числителе, и знаменателе:

[OpA] = K{А-O} * [AktA] / (K{А-O} * [AktA] + 1)

Другими словами функция имеет форму y = x / (1 + x)

И это лишь вклад оперона, связанного с активатором! Дабы учесть вклад оперона без активатора, нужно добавить слагаемое (1 — эта дробь) * 0,05. К счастью, оба слагаемых имеют неспециализированный знаменатель, исходя из этого функция усложняется очень мало:

y = 0,05 + (0,95 * x / (1 + x))

Осталось взять связь активности между концентрации и оперона цАМФ. Для этого нужно подставить первую формулу (для концентрации активного CAP в зависимости от концентрации цАМФ) во вторую формулу (для активности оперона от концентрации активного САР)…

… И взять четырехэтажную дробь:

У нас оказалась самая сложная функция из всех в данной статье. Но, ее график выглядит похоже на график более несложной зависимости активного CAP от концентрации цАМФ, y = x2 / (1 + x2):

Также S-образная кривая с некоторым пороговым эффектом, которая медлительно приближается к горизонтали y = 1. Лишь начинается не из нуля, а из точки (0; 0,05).

Осталось осознать, как взаимодействуют два входа. При лактозного оперона ответ несложной — никак. Лактозный репрессор и катаболический активатор не воздействуют на связывание друг друга с ДНК. Исходя из этого связывание этих двух белков можно считать свободными событиями. Полная активность оперона достигается, в то время, когда и активатор связан, и репрессор не связан.

Возможность для того чтобы совпадения равна произведению возможностей каждого из них по отдельности. Значит, для получения функции активности лактозного оперона от двух переменных ([Lac]) и ([цАМФ]), нужно функции от каждой данной переменной:

Активность = (1 / (1 + (1 / (1 + [Lac]^4)))) * (0,05 + 0,095 * ([цАМФ]^2 / (1 + [цАМФ]^2)) / (1 + ([цАМФ]^2 / (1 + [цАМФ]^2))))

Трехмерный график данной функции

похож на плато, обрывающееся ущельями по двум сторонам. Правое ущелье (малые концентрации лактозы) более глубокое и плоскодонное, чем левое (малые концентрации цАМФ).

В реальности кишечной палочки около нее лактозы или нет совсем (значительно чаще), или ее концентрация выше пороговой и лактозный репрессор фактически не мешает работе оперона (в то время, когда хозяин съел что-то молочное). Концентрация цАМФ — это внутренний сигнал, что вырабатывается самой клеткой. Она также не редкость или через чур малой для включения лактозного оперона (в то время, когда имеется глюкоза либо крахмал), или достаточной для включения на 95% и более (в случае если ничего вкуснее лактозы нет).

Другими словами практически в любое время лактозный оперон находится в условиях или плато на этом графике, или в одном из ущелий.

Входные функции лактозного оперона измерены экспериментально. Метод измерения напоминает прием отладки микроконтроллеров «повесить светодиод на выходную ногу». Берется регуляторная область оперона и соединяется с геном зеленого флуоресцентного белка. Эта генная конструкция вставляется в клетки кишечной палочки, из которой удаляется штатный лактозный оперон (дабы концентрация лактозы была жестко задана экспериментатором) и штатная совокупность, кодирующая голод уровнями цАМФ.

Затем активность лактозного оперона возможно совершенно верно измерять спектрофотометром по уровню зеленой флюоресценции. Выясняется, что в пределах точности измерений (1%) теория всецело сходится с опытом).

Дно левого ущелья на графике входной функции (при малых концентрациях цАМФ) находится выше нуля. Это не баг, а фича: благодаря ей при наличии нескольких сахаров сходу, кишечная палочка выясняется готова скоро переключиться на лактозу, в то время, когда глюкоза кончится.

Мутанты кишечной палочки, у которых регуляторная функция лактозного оперона ближе к чистому AND (другими словами без цАМФ оперон не работает), переключаются с глюкозы на лактозу по часу и более: в момент исчерпания глюкозы у них нет ферментов усвоения лактозы, соответственно, нет и энергии, дабы их скоро сделать. Обычная кишечная палочка («дикий тип») встречает данный момент, уже имея какое количество-то ферментов усвоения лактозы и ей достаточно 15–20 минут для полного переключения на новый сахар.

Сейчас отвлечемся от лактозного оперона и посмотрим шире, на что способны логические элементы на таковой химической базе. Фактически везде в химических сигнальных совокупностях мы встречаем молекулярное узнавание, которое описывается функциями вида y = x^n / (1 + x^n) для активаторов и y = 1 / (1 + x^n) для репрессоров. Степень n в этих функциях показывает количество связываемых однотипных молекул чтобы получить эффект, и не редкость в большинстве случаев равна 1, 2 либо 4 (значительно чаще 2).

Возможно взять более сложные логические ключи, додавая в начало оперона больше сайтов связывания регуляторных белков. Этих белков возможно больше двух типов. Эффекты различных белков на посадку РНК-полимеразы смогут складываться (OR) либо перемножаться (AND).

Но в целом мы будем иметь дело с какой-то комбинацией (сложением либо перемножением) базисных функций y = x^n / (1 + x^n) и y = 1 / (1 + x^n) с коэффициентами и разными степенями.

Кое-какие увлекательные функции получаются весьма легко. К примеру, одинаковый регуляторный белок может связываться (в спаренной форме) с двумя участками промотора. В одном участке он действует как репрессор, а в другом — как активатор.

Для работы оперона нужно, дабы сайт репрессора был безлюден, а сайт активатора — занят. Получается функция с четким максимумом:

y = (1/ (1 + x2)) * (x2 / (1 + x2))

Без этого белка оперон неактивен, по причине того, что безлюден сайт активатора, а при высоких концентрациях он неактивен, по причине того, что занят сайт репрессора. Большая активность будет, в то время, когда и сайт активатора, и сайт репрессора заняты с возможностью 50%.

Еще возможно сделать два сайта связывания активатора, в одном активатор будет очень сильно связываться с ДНК, но слабо активировать ген, в другом — слабо прикрепляться к ДНК, но очень сильно активировать ген. В этом случае получается функция наподобие y = x4 / (1 + x4) + 0.3 * (10?)^4 / (1 + (10?)^4), со ступенчатым графиком:

Математики, ау! Имеете возможность поведать в комментариях, что еще возможно и что нельзя получить при перемножении и сложении этих базисных функций y = x^n / (1 + x^n) и y = 1 / (1 + x^n)?

В следующей части займемся схемами из таких логических элементов.

Научный тык: Математики в биологии


Интересные записи на сайте:

Подобранные по важим запросам, статьи по теме: